Calcul infinitésimal Exemples

$g (v) = - 6 {(5 v - 3)}^{- 4} + 5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}} - \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 6 {(5 v - 3)}^{- 4} + 5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}} - \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}$ par rapport à $v$ est $- 6 \frac{d}{d v} [{(5 v - 3)}^{- 4}]$ .

$- 6 \frac{d}{d v} [{(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ est $f' (g (v)) g' (v)$ où $f (v) = v^{- 4}$ et $g (v) = 5 v - 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 v - 3$ .

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 v - 3$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 v - 3$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [5 v] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (\frac{d}{d v} [5 v] + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $5 v$ par rapport à $v$ est $5 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $v$ est $0$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 + 0)) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.8

Additionnez $5$ et $0$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} \cdot 5) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.9

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$- 6 (- 20 {(5 v - 3)}^{- 5}) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 2.10

Multipliez $- 20$ par $- 6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $5 {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}$ par rapport à $v$ est $5 \frac{d}{d v} [{\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}]$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{d}{d v} [{\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ est $f' (g (v)) g' (v)$ où $f (v) = v^{\frac{6}{5}}$ et $g (v) = \ln (v^{3})$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (v^{3})$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{6}{5}}] \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{6}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {u_{2}}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (v^{3})$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ est $f' (g (v)) g' (v)$ où $f (v) = \ln (v)$ et $g (v) = v^{3}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{u_{3}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{v^{3}} \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6 - 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.8.2

Soustrayez $5$ de $6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.9

Associez $3$ et $\frac{1}{v^{3}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} (\frac{3}{v^{3}} v^{2})) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.10

Associez $\frac{3}{v^{3}}$ et $v^{2}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{3 v^{2}}{v^{3}}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun à $v^{2}$ et $v^{3}$ .

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Étape 3.11.1

Factorisez $v^{2}$ à partir de $3 v^{2}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{3}}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.2.1

Factorisez $v^{2}$ à partir de $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{2} v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{2} v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{3}{v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.12

Associez $\frac{6}{5}$ et ${\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5} \cdot \frac{3}{v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.13

Multipliez $\frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5}$ par $\frac{3}{v}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \cdot 3}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.14

Multipliez $3$ par $6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.15

Associez $5$ et $\frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.16

Multipliez $18$ par $5$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{90 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.17

Factorisez $5$ à partir de $90 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.18.1

Factorisez $5$ à partir de $5 v$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 (v)} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.18.2

Annulez le facteur commun.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 3.18.3

Réécrivez l’expression.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Étape 4

Comme $- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ par rapport à $v$ est $0$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 \frac{1}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $120$ et $\frac{1}{{(5 v - 3)}^{5}}$ .

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Étape 5.2.2

Additionnez $\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v}$ et $0$ .

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + \frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}}$