Calcul infinitésimal Exemples

$g (v) = e^{v} \sin (v) - 7 v \csc (v)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{v} \sin (v) - 7 v \csc (v)$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$ .

$\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d v} [e^{v} \sin (v)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ est $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ où $f (v) = e^{v}$ et $g (v) = \sin (v)$ .

$e^{v} \frac{d}{d v} [\sin (v)] + \sin (v) \frac{d}{d v} [e^{v}] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (v)$ par rapport à $v$ est $\cos (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) \frac{d}{d v} [e^{v}] + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d v} [a^{v}]$ est $a^{v} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} + \frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d v} [- 7 v \csc (v)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 7 v \csc (v)$ par rapport à $v$ est $- 7 \frac{d}{d v} [v \csc (v)]$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 \frac{d}{d v} [v \csc (v)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ est $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ où $f (v) = v$ et $g (v) = \csc (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v \frac{d}{d v} [\csc (v)] + \csc (v) \frac{d}{d v} [v])$

Étape 3.3

La dérivée de $\csc (v)$ par rapport à $v$ est $- \csc (v) \cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v) \frac{d}{d v} [v])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v) \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $\csc (v)$ par $1$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v)) + \csc (v))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} - 7 (v (- \csc (v) \cot (v))) - 7 \csc (v)$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$e^{v} \cos (v) + \sin (v) e^{v} + 7 v (\csc (v) \cot (v)) - 7 \csc (v)$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \cot (v) \csc (v) - 7 \csc (v)$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Réécrivez $\cot (v)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \frac{\cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.2

Multipliez $7 v \frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ .

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Étape 4.4.2.1

Associez $7$ et $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + v \frac{7 \cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.2.2

Associez $v$ et $\frac{7 \cos (v)}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{v (7 \cos (v))}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.3

Déplacez $7$ à gauche de $v$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 \cdot v \cos (v)}{\sin (v)} \csc (v) - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.4

Réécrivez $\csc (v)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)} - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.5

Multipliez $\frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)}$ .

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Étape 4.4.5.1

Multipliez $\frac{7 v \cos (v)}{\sin (v)}$ par $\frac{1}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v) \sin (v)} - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.5.2

Élevez $\sin (v)$ à la puissance $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{1} (v) \sin (v)} - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.5.3

Élevez $\sin (v)$ à la puissance $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{1} (v) \sin^{1} (v)} - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{{\sin (v)}^{1 + 1}} - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - 7 \csc (v)$

Étape 4.4.6

Réécrivez $\csc (v)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - 7 \frac{1}{\sin (v)}$

Étape 4.4.7

Associez $- 7$ et $\frac{1}{\sin (v)}$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} + \frac{- 7}{\sin (v)}$

Étape 4.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin^{2} (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Factorisez $\sin (v)$ à partir de $\sin^{2} (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cos (v)}{\sin (v) \sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.2

Séparez les fractions.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{\sin (v)} \cdot \frac{\cos (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.3

Convertissez de $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ à $\cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{\sin (v)} \cot (v) - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.4

Associez $\frac{7 v}{\sin (v)}$ et $\cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v \cot (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.5

Séparez les fractions.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} \cdot \frac{\cot (v)}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.6

Réécrivez $\cot (v)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (v)}{\sin (v)}}{\sin (v)} - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.7

Réécrivez $\frac{\frac{\cos (v)}{\sin (v)}}{\sin (v)}$ comme un produit.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\frac{\cos (v)}{\sin (v)} \cdot \frac{1}{\sin (v)}) - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.8

Simplifiez

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Étape 4.5.8.1

Convertissez de $\frac{\cos (v)}{\sin (v)}$ à $\cot (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\cot (v) \frac{1}{\sin (v)}) - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.8.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (v)}$ à $\csc (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + \frac{7 v}{1} (\cot (v) \csc (v)) - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.9

Divisez $7 v$ par $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - \frac{7}{\sin (v)}$

Étape 4.5.10

Séparez les fractions.

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (\frac{7}{1} \cdot \frac{1}{\sin (v)})$

Étape 4.5.11

Convertissez de $\frac{1}{\sin (v)}$ à $\csc (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (\frac{7}{1} \csc (v))$

Étape 4.5.12

Divisez $7$ par $1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - (7 \csc (v))$

Étape 4.5.13

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - 7 \csc (v)$

Étape 4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v (\cot (v) \csc (v)) - 7 \csc (v)$ .

$e^{v} \cos (v) + e^{v} \sin (v) + 7 v \cot (v) \csc (v) - 7 \csc (v)$