Calcul infinitésimal Exemples

$g (u) = \frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $\frac{3 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ par rapport à $u$ est $3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ est $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ où $f (u) = u^{2}$ et $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(u^{2} + u)}^{3}$ .

$3 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = u^{3}$ et $g (u) = u^{2} + u$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $u^{2} + u$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $u^{2} + u$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{2} + u$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5.5

Associez $3$ et $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ .

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Factorisez $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ à partir de $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ à partir de $3 \cdot 2 {(u^{2} + u)}^{3} u$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ à partir de $3 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $3 {(u^{2} + u)}^{2} u$ à partir de $3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u) + 3 {(u^{2} + u)}^{2} u (- 3 u (2 u + 1))$ .

$\frac{3 {(u^{2} + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + u$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u^{1})}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$\frac{3 {(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{3 {(u (u + 1))}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.3

Appliquez la règle de produit à $u (u + 1)$ .

$\frac{3 u^{2} {(u + 1)}^{2} u (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.4

Associez les exposants.

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Étape 6.2.4.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (u^{1} u^{2}) {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 u^{1 + 2} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u + 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2 \cdot 1) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} ((2 u + 2) u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u \cdot u + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.4

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.5.4.1

Déplacez $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 (u \cdot u) + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.4.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 u (2 u) - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u \cdot 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u \cdot u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.5.8.1

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.5.8.1.1

Déplacez $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 (u \cdot u) - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.8.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 3 \cdot 2 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5.8.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (2 u^{2} + 2 u - 6 u^{2} - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6

Soustrayez $6 u^{2}$ de $2 u^{2}$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} + 2 u - 3 u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.7

Soustrayez $3 u$ de $2 u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u^{2} - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.8

Factorisez $u$ à partir de $- 4 u^{2} - u$ .

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Étape 6.2.8.1

Factorisez $u$ à partir de $- 4 u^{2}$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) - u)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.8.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u) + u \cdot - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.8.3

Factorisez $u$ à partir de $u (- 4 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} (u (- 4 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

$\frac{3 u^{3} {(u + 1)}^{2} u (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.9

Associez les exposants.

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Étape 6.2.9.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (u^{1} u^{3}) {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 u^{1 + 3} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.9.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + u$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

Étape 6.3.1.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

Étape 6.3.1.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

Étape 6.3.1.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

Étape 6.3.2

Appliquez la règle de produit à $u (u + 1)$ .

$\frac{3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $u^{4}$ et $u^{6}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $u^{4}$ à partir de $3 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $u^{4}$ à partir de $u^{6} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{u^{4} (3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à ${(u + 1)}^{2}$ et ${(u + 1)}^{6}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez ${(u + 1)}^{2}$ à partir de $3 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez ${(u + 1)}^{2}$ à partir de $u^{2} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (3 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 u$ .

$\frac{3 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 u) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.9

Réécrivez $- (4 u + 1)$ comme $- 1 (4 u + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$