Calcul infinitésimal Exemples

$g (u) = 2 e^{h} (5 h^{2} + 3 h)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2 e^{h} (5 h^{2} + 3 h)$ par rapport à $h$ est $2 \frac{d}{d h} [e^{h} (5 h^{2} + 3 h)]$ .

$2 \frac{d}{d h} [e^{h} (5 h^{2} + 3 h)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = e^{h}$ et $g (h) = 5 h^{2} + 3 h$ .

$2 (e^{h} \frac{d}{d h} [5 h^{2} + 3 h] + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 h^{2} + 3 h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [5 h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]$ .

$2 (e^{h} (\frac{d}{d h} [5 h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Étape 3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $5 h^{2}$ par rapport à $h$ est $5 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$2 (e^{h} (5 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (e^{h} (5 (2 h) + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 (e^{h} (10 h + \frac{d}{d h} [3 h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Étape 3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $3 h$ par rapport à $h$ est $3 \frac{d}{d h} [h]$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3 \frac{d}{d h} [h]) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3 \cdot 1) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3) + (5 h^{2} + 3 h) \frac{d}{d h} [e^{h}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d h} [a^{h}]$ est $a^{h} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{h} (10 h + 3) + (5 h^{2} + 3 h) e^{h})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (e^{h} (10 h) + e^{h} \cdot 3 + (5 h^{2} + 3 h) e^{h})$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (e^{h} (10 h) + e^{h} \cdot 3 + 5 h^{2} e^{h} + 3 h e^{h})$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (e^{h} (10 h)) + 2 (e^{h} \cdot 3) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Étape 5.4

Associez des termes.

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Étape 5.4.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$20 (e^{h} (h)) + 2 (e^{h} \cdot 3) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Étape 5.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{h}$ .

$20 e^{h} h + 2 (3 \cdot e^{h}) + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Étape 5.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 2 (5 h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Étape 5.4.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 10 (h^{2} e^{h}) + 2 (3 h e^{h})$

Étape 5.4.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$20 e^{h} h + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h} + 6 (h e^{h})$

Étape 5.4.6

Additionnez $20 e^{h} h$ et $6 h e^{h}$ .

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Étape 5.4.6.1

Déplacez $e^{h}$ .

$20 h e^{h} + 6 h e^{h} + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h}$

Étape 5.4.6.2

Additionnez $20 h e^{h}$ et $6 h e^{h}$ .

$26 h e^{h} + 6 e^{h} + 10 h^{2} e^{h}$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$26 e^{h} h + 10 e^{h} h^{2} + 6 e^{h}$

Étape 5.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $26 e^{h} h + 10 e^{h} h^{2} + 6 e^{h}$ .

$26 h e^{h} + 10 h^{2} e^{h} + 6 e^{h}$