Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = {(4 t + 3 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Additionnez $4 t$ et $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [{(7 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Étape 1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de produit à $7 t$ .

$\frac{d}{d t} [7^{2} t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Étape 1.2.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d t} [49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Étape 1.3

Comme $49$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ par rapport à $t$ est $49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$ .

$49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = {(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ .

$49 (t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} - 9)}^{- 3}] + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 3}$ et $g (t) = 3 t^{2} - 9$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t^{2} - 9$ .

$49 (t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$49 (t^{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t^{2} - 9$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} - 9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t + 0)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$49 (t^{2} (- 3 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} (6 t)) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.6.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$49 (t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4} t) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 5

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $t$ .

$49 (t \cdot t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 5.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$49 (t^{1} t^{2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$49 (t^{1 + 2} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} (2 t))$

Étape 7

Déplacez $2$ à gauche de ${(3 t^{2} - 9)}^{- 3}$ .

$49 (t^{3} (- 18 {(3 t^{2} - 9)}^{- 4}) + 2 \cdot {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 {(3 t^{2} - 9)}^{- 3} t)$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$49 (t^{3} (- 18 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4

Associez des termes.

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Étape 8.4.1

Associez $- 18$ et $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$49 (t^{3} \frac{- 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$49 (t^{3} (- \frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}})) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.3

Associez $t^{3}$ et $\frac{18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$49 (- \frac{t^{3} \cdot 18}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.4

Déplacez $18$ à gauche de $t^{3}$ .

$49 (- \frac{18 \cdot t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}) + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.5

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$- 49 \frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.6

Associez $- 49$ et $\frac{18 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}}$ .

$\frac{- 49 (18 t^{3})}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.7

Multipliez $18$ par $- 49$ .

$\frac{- 882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (2 \frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.9

Associez $2$ et $\frac{1}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 (\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}} t)$

Étape 8.4.10

Associez $\frac{2}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ et $t$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + 49 \frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.4.11

Associez $49$ et $\frac{2 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{49 (2 t)}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.4.12

Multipliez $2$ par $49$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} - 9$ .

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Étape 8.5.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2}$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{882 t^{3}}{{(3 (t^{2} - 3))}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 (t^{2} - 3)$ .

$- \frac{882 t^{3}}{3^{4} {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- \frac{882 t^{3}}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun à $882$ et $81$ .

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Étape 8.5.2.1

Factorisez $9$ à partir de $882 t^{3}$ .

$- \frac{9 (98 t^{3})}{81 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.5.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81 {(t^{2} - 3)}^{4}$ .

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9 (98 t^{3})}{9 (9 {(t^{2} - 3)}^{4})} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} - 9$ .

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Étape 8.5.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2}$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2}) - 9)}^{3}}$

Étape 8.5.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 t^{2} + 3 \cdot - 3)}^{3}}$

Étape 8.5.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{{(3 (t^{2} - 3))}^{3}}$

Étape 8.5.3.2

Appliquez la règle de produit à $3 (t^{2} - 3)$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{3^{3} {(t^{2} - 3)}^{3}}$

Étape 8.5.3.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{98 t^{3}}{9 {(t^{2} - 3)}^{4}} + \frac{98 t}{27 {(t^{2} - 3)}^{3}}$