Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = \frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 1 + \sin (3 t)$ et $g (t) = 3 - 2 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (3 t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 3 t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \cdot 1) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) \cdot 3 - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $(3 - 2 t) \cos (3 t)$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 \cdot ((3 - 2 t) \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.5

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [- 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2 t$ par rapport à $t$ est $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (- 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \cdot 1}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 5.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.5

Associez des termes.

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Étape 6.5.1

Placez ${(1 + \sin (3 t))}^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 - 2 t)}^{- 2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.5.2

Placez ${(3 - 2 t)}^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.5.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.5.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.5.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Étape 6.5.6

Multipliez $\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ par $\frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$ .

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

Étape 6.5.7

Annulez le facteur commun de ${(3 - 2 t)}^{2}$ .

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Étape 6.5.7.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

Étape 6.5.7.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$