Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (8 x^{2} - 7 x + 12) + \ln (8)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (8 x^{2} - 7 x + 12) + \ln (8)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 8 x^{2} - 7 x + 12$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x^{2} - 7 x + 12$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x^{2} - 7 x + 12$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} - 7 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.8

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.9

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 2.10

Additionnez $16 x - 7$ et $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Étape 3

Comme $\ln (8)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\ln (8)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7) + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Additionnez $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$ et $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$ .

$(16 x - 7) \frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12}$

Étape 4.3

Multipliez $16 x - 7$ par $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12}$ .

$\frac{16 x - 7}{8 x^{2} - 7 x + 12}$