Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\cot (x) - \csc (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cot (x) - \csc (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cot (x) - \csc (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 5

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 6

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + 1 (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 6.2

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$ .

$(- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \csc^{2} (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ et $\csc^{2} (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.4

Multipliez $\csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Associez $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ et $\csc (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)} \cot (x)$

Étape 7.4.2

Associez $\frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$ et $\cot (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.6

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.6.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.6.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $\cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.10

Réécrivez $- (\csc (x) - \cot (x))$ comme $- 1 (\csc (x) - \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- 1 (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Étape 7.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$