Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\cos (\sqrt[3]{x}))$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x^{\frac{1}{3}}))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Étape 3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ à $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{3}})]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Étape 9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \sin (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 12

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3})$

Étape 13

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec (x^{\frac{1}{3}}) (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 14

Associez $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ et $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{\sec (x^{\frac{1}{3}}) \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Réécrivez $\sec (x^{\frac{1}{3}})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})} \sin (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2

Associez $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ et $\sin (x^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3

Convertissez de $\frac{\sin (x^{\frac{1}{3}})}{\cos (x^{\frac{1}{3}})}$ à $\tan (x^{\frac{1}{3}})$ .

$- \frac{\tan (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$