Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\arcsin (\sin (\sec (x))))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \arcsin (\sin (\sec (x)))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\arcsin (\sin (\sec (x)))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\arcsin (\sin (\sec (x)))$ .

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\arcsin (\sin (\sec (x)))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \sin (\sec (x))$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (\sec (x))$ .

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arcsin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (\sec (x))$ .

$\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))}} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))])$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))}}$ par $\frac{1}{\arcsin (\sin (\sec (x)))}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\sin (\sec (x))]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 5

Associez $\cos (\sec (x))$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 6

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} (\sec (x) \tan (x))$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Associez $\sec (x)$ et $\frac{\cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ .

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))} \tan (x)$

Étape 7.2

Associez $\frac{\sec (x) \cos (\sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cos (\sec (x)) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \cos (\sec (x)) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\cos (\sec (x))$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.4

Multipliez $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 8.1.4.1

Multipliez $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.6

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.7

Réécrivez $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.8

Écrivez $\cos (\sec (x))$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.9

Simplifiez

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Étape 8.1.9.1

Divisez $\cos (\sec (x))$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.9.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.1.10

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$

Étape 8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sec (x) \tan (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\sec (x))} \arcsin (\sin (\sec (x)))}$