Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\ln (\sec (2 x)))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 3

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 5.2

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6.2

La dérivée de $\sec (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Associez $\sec (2 x)$ et $\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7.2

Associez $\tan (2 x)$ et $\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\tan (2 x) (\sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.4

Associez $2$ et $\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{2 (\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \cdot 1$

Étape 7.6

Multipliez $\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ par $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.2

Associez $2$ et $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.3

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

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Étape 8.4.1

Multipliez $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ par $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.4.2

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.4.3

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.6

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.7

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\frac{\frac{2}{1} \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Étape 8.8

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$