Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (e^{3 x}) + x \ln (e^{2}) - 10 \ln (e)$

Étape 1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \ln (e)) - 10 \ln (e)]$

Étape 2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x (2 \cdot 1) - 10 \ln (e)]$

Étape 3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \ln (e)]$

Étape 4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1]$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (e^{3 x}) + x \cdot 2 - 10 \cdot 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x})]$ .

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Étape 6.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $3 x$ de l’exposant.

$\frac{d}{d x} [3 x \ln (e)] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x \cdot 1] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 6.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 6.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 7

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Étape 7.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 7.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$

Étape 8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \cdot 1]$ .

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Étape 8.1

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$3 + 2 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 8.2

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 2 + 0$

Étape 9

Associez des termes.

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Étape 9.1

Additionnez $3$ et $2$ .

$5 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$