Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\sec^{4} (x) \cdot \tan^{2} (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{4} (x)$ et $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{4} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 4

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{4} (x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 6

Multipliez $\sec^{4} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 (\sec^{2} (x) \sec^{4} (x)) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 {\sec (x)}^{2 + 4} \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 6.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 8

Déplacez $4$ à gauche de $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 9

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 10

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec^{3} (x) \sec (x))$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 {\tan (x)}^{1 + 2} \sec^{3} (x) \sec (x))$

Étape 12

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec^{3} (x) \sec (x))$

Étape 13

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)))$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{1 + 3})$

Étape 15

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (2 \sec^{6} (x) \tan (x)) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2

Associez des termes.

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Étape 16.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\sec^{6} (x) \tan (x)) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.2

Associez $\sec^{6} (x)$ et $\frac{2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.3

Associez $\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{\sec^{6} (x) \cdot 2 \tan (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{6} (x)$ .

$\frac{2 \cdot \sec^{6} (x) \tan (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.5

Annulez le facteur commun à $\sec^{6} (x)$ et $\sec^{4} (x)$ .

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Étape 16.2.5.1

Factorisez $\sec^{4} (x)$ à partir de $2 \sec^{6} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.5.2.1

Factorisez $\sec^{4} (x)$ à partir de $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) (\tan^{2} (x))} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec^{4} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.6

Annulez le facteur commun à $\tan (x)$ et $\tan^{2} (x)$ .

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Étape 16.2.6.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.6.2.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan (x) \tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (x) (2 \sec^{2} (x))}{\tan (x) \tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.7

Associez $4$ et $\frac{1}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} (\tan^{3} (x) \sec^{4} (x))$

Étape 16.2.8

Associez $\tan^{3} (x)$ et $\frac{4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{3} (x) \cdot 4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)} \sec^{4} (x)$

Étape 16.2.9

Associez $\frac{\tan^{3} (x) \cdot 4}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$ et $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{3} (x) \cdot 4 \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

Étape 16.2.10

Déplacez $4$ à gauche de $\tan^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \cdot \tan^{3} (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

Étape 16.2.11

Annulez le facteur commun à $\tan^{3} (x)$ et $\tan^{2} (x)$ .

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Étape 16.2.11.1

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $4 \tan^{3} (x) \sec^{4} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)}$

Étape 16.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.11.2.1

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\sec^{4} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\tan^{2} (x) \sec^{4} (x)}$

Étape 16.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x) (4 \tan (x) \sec^{4} (x))}{\tan^{2} (x) \sec^{4} (x)}$

Étape 16.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \tan (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x)}$

Étape 16.2.12

Annulez le facteur commun de $\sec^{4} (x)$ .

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Étape 16.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + \frac{4 \tan (x) \sec^{4} (x)}{\sec^{4} (x)}$

Étape 16.2.12.2

Divisez $4 \tan (x)$ par $1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x)}{\tan (x)} + 4 \tan (x)$