Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (| x^{2} - x |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | x^{2} - x |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| x^{2} - x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| x^{2} - x |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Étape 2.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Étape 3

Multipliez $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ par $\frac{1}{| x^{2} - x |}$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x | | x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{x^{2} - x}{| (x^{2} - x) (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 5

Élevez $x^{2} - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 6

Élevez $x^{2} - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} {(x^{2} - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Étape 13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Étape 14.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Étape 14.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Étape 14.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Étape 14.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 14.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x - x)}^{2} |}$

Étape 14.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x + x \cdot - 1)}^{2} |}$

Étape 14.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x (x - 1))}^{2} |}$

Étape 14.3.2

Appliquez la règle de produit à $x (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Étape 14.3.3

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} ((x - 1) (x - 1)) |}$

Étape 14.3.4

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 14.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) |}$

Étape 14.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) |}$

Étape 14.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Étape 14.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 14.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Étape 14.3.5.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Étape 14.3.5.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Étape 14.3.5.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) |}$

Étape 14.3.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x + 1) |}$

Étape 14.3.5.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Étape 14.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Étape 14.3.7

Simplifiez

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Étape 14.3.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.7.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Étape 14.3.7.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Étape 14.3.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 |}$

Étape 14.3.7.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} |}$

Étape 14.3.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.8.1

Déplacez $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} |}$

Étape 14.3.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 14.3.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} |}$

Étape 14.3.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} |}$

Étape 14.3.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Étape 14.3.9

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

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Étape 14.3.9.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Étape 14.3.9.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} |}$

Étape 14.3.9.3

Multipliez par $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Étape 14.3.9.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Étape 14.3.9.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Étape 14.3.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 14.3.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) |}$

Étape 14.3.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 14.3.10.3

Réécrivez le polynôme.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) |}$

Étape 14.3.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Étape 14.4

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 14.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Étape 14.5.2

Annulez le facteur commun.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Étape 14.5.3

Réécrivez l’expression.

$(2 x - 1) \frac{x - 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Étape 14.6

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 14.6.1

Multipliez par $1$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Étape 14.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.6.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Étape 14.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Étape 14.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$(2 x - 1) \frac{1}{x (x - 1)}$

Étape 14.7

Multipliez $2 x - 1$ par $\frac{1}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$