Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{4 x - 3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4 x - 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$1 \frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de $4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (4 x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.8

Associez les fractions.

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Étape 5.8.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.8.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.8.3

Multipliez $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ par $\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{x^{2} {(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $4 x - 3$ à partir de $x^{2} {(4 x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (4 x) + 2 \cdot - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (4 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 6 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.4.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.5

Associez des termes.

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Étape 7.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x \cdot x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1} x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1 + 2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.5.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{3} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.5.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Étape 7.6

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{2} - 6 x$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Étape 7.6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (- 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Étape 7.6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Étape 7.7

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Étape 7.7.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) - 3 x^{2}}$

Étape 7.7.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Étape 7.7.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x - 3)}$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 7.8.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x (2 x - 3)$ .

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x^{2} (4 x - 3)}$

Étape 7.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.8.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Étape 7.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Étape 7.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 x - 3)}{x (4 x - 3)}$