Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 12

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Déplacez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 12.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 13

Simplifiez $2 {(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (1 - x^{2})} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 - x^{2})} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 (1 - x^{2})} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 16

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 - x^{2})} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 - x^{2})} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (1 - x^{2})} (- (2 x))$

Étape 19

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 (1 - x^{2})} (- 2 x)$

Étape 19.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 (1 - x^{2})}$ .

$\frac{- 2}{2 (1 - x^{2})} x$

Étape 19.3

Associez $\frac{- 2}{2 (1 - x^{2})}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 19.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 19.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 19.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{1 - x^{2}}$

Étape 19.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{1 - x^{2}}$