Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$1 \frac{x^{2} - 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{x^{2} - 1}{x}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $x^{2} - 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 10

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 11

Multipliez $\frac{x^{2} - 1}{x}$ par $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{x {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de $x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{(x^{2} - 1) (x (x^{2} - 1))}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - 1) (- x^{2} - 1)}{(x^{2} - 1) (x (x^{2} - 1))}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Étape 13.2

Associez des termes.

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Étape 13.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 13.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 1}$

Étape 13.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{1 + 2} + x \cdot - 1}$

Étape 13.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} + x \cdot - 1}$

Étape 13.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} - 1 \cdot x}$

Étape 13.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{- x^{2} - 1}{x^{3} - x}$