Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\sqrt{\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}}$ comme ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - \cos (2 x)$ et $g (x) = 1 + \cos (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)] - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 10.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 10.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 10.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 11.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12

Différenciez.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (1 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.2

Multipliez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \cdot 1) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) \cdot 2 - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $(1 + \cos (2 x)) \sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot ((1 + \cos (2 x)) \sin (2 x)) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 12.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 13.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.2

La dérivée de $\cos (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $- \sin (u_{4})$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 13.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $2 x$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) - (1 - \cos (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 14

Différenciez.

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Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 1 (1 - \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 14.2

Multipliez $1 - \cos (2 x)$ par $1$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 14.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 14.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

Étape 14.5

Associez les fractions.

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Étape 14.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

Étape 14.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $(1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 \cdot ((1 - \cos (2 x)) \sin (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 14.5.3

Multipliez $\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$ par $\frac{\sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 14.5.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin ({(\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 15.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} {(\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 15.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$- \frac{(2 (1 + \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{((2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 (1 - \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + (2 \cdot 1 + 2 (- \cos (2 x))) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.7

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8

Associez des termes.

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Étape 15.8.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \cdot 1 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 (- \cos (2 x)) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{(2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.4

Additionnez $2 \sin (2 x)$ et $2 \sin (2 x)$ .

$- \frac{(2 \cos (2 x) \sin (2 x) + 4 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.5

Soustrayez $2 \cos (2 x) \sin (2 x)$ de $2 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$- \frac{(0 + 4 \sin (2 x)) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.6

Additionnez $0$ et $4 \sin (2 x)$ .

$- \frac{4 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.7

Factorisez $2$ à partir de $4 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{2 (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.8.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

$- \frac{2 (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{2 ({(1 + \cos (2 x))}^{2})} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.8.2

Annulez le facteur commun.

Étape 15.8.8.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.9

Multipliez $\frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} (2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}))}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 15.8.10

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Étape 15.8.11

Placez ${(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 15.8.12

Multipliez ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ par ${(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.8.12.1

Déplacez ${(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} ({(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{2})}$

Étape 15.8.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Étape 15.8.12.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 15.8.12.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 15.8.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 15.8.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.8.12.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Étape 15.8.12.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$- \frac{2 \sin (2 x) \sin (\frac{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 - \cos (2 x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \cos (2 x))}^{\frac{3}{2}}}$