Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (e^{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}])$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}])$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}])$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 11

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 12

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$