Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x + 1$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $2 x - 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 \cdot (2 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.12

Associez les fractions.

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Étape 3.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.12.3

Associez $\frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ et $\sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})$ .

$- \frac{(3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x + 1)) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Associez les termes opposés dans $3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 (2 x)$ et $- 2 (3 x)$ .

$- \frac{(2 \cdot 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Soustrayez $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$- \frac{(3 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $3 \cdot - 1$ et $0$ .

$- \frac{(3 \cdot - 1 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{(- 3 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{(- 3 - 2) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- \frac{- 5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Multipliez $\frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$