Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \sin (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- \sin (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (x) - \frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \sin (x) - \frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) - \frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x) - \frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \sin (x) - \frac{1}{2} (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \sin (x) - \frac{1}{2} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 3.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \sin (x) + 2 (\frac{1}{2}) \sin (2 x)$

Étape 3.8

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{2}{2} \sin (2 x)$

Étape 3.9

Associez $\frac{2}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$- \sin (x) + \frac{2 \sin (2 x)}{2}$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.10.1

Annulez le facteur commun.

$- \sin (x) + \frac{2 \sin (2 x)}{2}$

Étape 3.10.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$- \sin (x) + \sin (2 x)$