Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 3

La dérivée de $\log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 4.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

Étape 5.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 5.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 6.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 6.3.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \sin (x)$