Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\ln ({(5 x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln ({(5 (x^{- 3}))}^{\frac{1}{2}}))]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de produit à $5 (x^{- 3})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} {(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}))]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})}))]$

Étape 1.2.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}}))]$

Étape 1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [\ln (\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- 3 (\frac{1}{2})})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Étape 2.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{1}{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}])$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}]$

Étape 4.3

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}])$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Étape 10

Associez $x^{- \frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Étape 11

Multipliez $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$ par $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Étape 12

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- \frac{5}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Déplacez $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Étape 12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{- \frac{5}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{\frac{- 5 + 3}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Étape 12.4

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$- \frac{x^{\frac{- 2}{2}} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Étape 12.5

Divisez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{x^{- 1} \cdot 3}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Étape 13

Déplacez $3$ à gauche de $x^{- 1}$ .

$- \frac{3 \cdot x^{- 1}}{\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \cdot 2}$

Étape 14

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ .

$- \frac{3 x^{- 1}}{2 \cdot \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}$

Étape 15

Placez $x^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) x}$

Étape 16

Simplifiez $2 \ln (5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}})}^{2}) x}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

Étape 17.2

Appliquez la règle de produit à $5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})}^{2}) x}$

Étape 17.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{3}{\ln ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Étape 17.4

Associez des termes.

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Étape 17.4.1

Multipliez les exposants dans ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 17.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Étape 17.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{\ln (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Étape 17.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{\ln (5^{1} \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Étape 17.4.2

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Étape 17.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}) x}$

Étape 17.4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 17.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

Étape 17.4.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) x}$

Étape 17.4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{\ln (5 \frac{1}{x^{3}}) x}$

Étape 17.4.5

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$

Étape 17.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{3}{\ln (\frac{5}{x^{3}}) x}$ .

$- \frac{3}{x \ln (\frac{5}{x^{3}})}$