Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\frac{\sqrt{5 x^{2} - x}}{7 x + 4})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x^{2} - x}$ comme ${(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}$ .

$\frac{1}{\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}} \frac{d}{d x} [\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}$ .

$1 \frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}]$

Étape 4

Multipliez $\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{7 x + 4}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}] - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 x^{2} - x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x^{2} - x$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x^{2} - x$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2} {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2} {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2} {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2} {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2} {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2} {(5 x^{2} - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2} {(5 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{{(5 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 11.3

Placez ${(5 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 13

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 15

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + \frac{d}{d x} [- x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - \frac{d}{d x} [x]) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1 \cdot 1) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 19

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 20

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 21

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 22

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 23

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 + 0)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 24

Associez les fractions.

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Étape 24.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 7}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 24.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - 7 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 24.3

Multipliez $\frac{7 x + 4}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - 7 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(7 x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{(7 x + 4) ((7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - 7 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} {(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 25

Annulez les facteurs communs.

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Étape 25.1

Factorisez $7 x + 4$ à partir de ${(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} {(7 x + 4)}^{2}$ .

$\frac{(7 x + 4) ((7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - 7 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}})}{(7 x + 4) ({(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4))}$

Étape 25.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(7 x + 4) ((7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - 7 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}})}{(7 x + 4) ({(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4))}$

Étape 25.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(7 x + 4) \frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1) - 7 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26

Simplifiez

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Étape 26.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 26.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{(7 x + 4) (\frac{1}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x - 1)) - 7 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2

Laissez $u_{3} = {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{3}$ .

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Étape 26.1.2.1

Développez $(7 x + 4) (10 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 26.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{7 x (10 x - 1) + 4 (10 x - 1) - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{7 x (10 x) + 7 x \cdot - 1 + 4 (10 x - 1) - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{7 x (10 x) + 7 x \cdot - 1 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 1 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 26.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{7 \cdot 10 x \cdot x + 7 x \cdot - 1 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 1 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 26.1.2.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 10 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 1 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 1 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 10 x^{2} + 7 x \cdot - 1 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 1 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.2.1.3

Multipliez $7$ par $10$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 7 x \cdot - 1 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 1 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} - 7 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 1 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.2.1.5

Multipliez $10$ par $4$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} - 7 x + 40 x + 4 \cdot - 1 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} - 7 x + 40 x - 4 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.2.2

Additionnez $- 7 x$ et $40 x$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 7 u_{3} (2 u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 7 \cdot 2 u_{3} \cdot u_{3}}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.4

Multipliez $u_{3}$ par $u_{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 26.1.2.4.1

Déplacez $u_{3}$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 7 \cdot 2 (u_{3} \cdot u_{3})}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.4.2

Multipliez $u_{3}$ par $u_{3}$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 7 \cdot 2 {u_{3}}^{2}}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.2.5

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 14 {u_{3}}^{2}}{2 u_{3}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par ${(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 14 {({(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4

Simplifiez

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Étape 26.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 26.1.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 14 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 26.1.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 14 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 14 {(5 x^{2} - x)}^{1}}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.1.2

Simplifiez

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 14 (5 x^{2} - x)}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 14 (5 x^{2}) - 14 (- x)}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.1.4

Multipliez $5$ par $- 14$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 70 x^{2} - 14 (- x)}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 14$ .

$\frac{\frac{70 x^{2} + 33 x - 4 - 70 x^{2} + 14 x}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.2

Associez les termes opposés dans $70 x^{2} + 33 x - 4 - 70 x^{2} + 14 x$ .

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Étape 26.1.4.2.1

Soustrayez $70 x^{2}$ de $70 x^{2}$ .

$\frac{\frac{33 x - 4 + 0 + 14 x}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.2.2

Additionnez $33 x - 4$ et $0$ .

$\frac{\frac{33 x - 4 + 14 x}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.1.4.3

Additionnez $33 x$ et $14 x$ .

$\frac{\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.2

Associez des termes.

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Étape 26.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$ comme un produit.

$\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.2.2

Multipliez $\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4)}$ .

$\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}} (7 x + 4))}$

Étape 26.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 26.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} (7 x + 4)}$

Étape 26.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{47 x - 4}{2 {(5 x^{2} - x)}^{1} (7 x + 4)}$

Étape 26.2.7

Simplifiez

$\frac{47 x - 4}{2 (5 x^{2} - x) (7 x + 4)}$

Étape 26.3

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2} - x$ .

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Étape 26.3.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{47 x - 4}{2 (x (5 x) - x) (7 x + 4)}$

Étape 26.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{47 x - 4}{2 (x (5 x) + x \cdot - 1) (7 x + 4)}$

Étape 26.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x) + x \cdot - 1$ .

$\frac{47 x - 4}{2 (x (5 x - 1)) (7 x + 4)}$

$\frac{47 x - 4}{2 x (5 x - 1) (7 x + 4)}$