Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ par $1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 8.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 9.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 10

Multipliez $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ par $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $e^{x} + 1$ à partir de $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Étape 12.3.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Étape 12.3.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Étape 12.3.2

Associez les termes opposés dans $e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Étape 12.3.2.1

Soustrayez $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Étape 12.3.2.2

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Étape 12.4

Associez des termes.

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Étape 12.4.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.4.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

Étape 12.4.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

Étape 12.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

Étape 12.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.5.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

Étape 12.5.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

Étape 12.5.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + u$ .

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Étape 12.5.3.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

Étape 12.5.3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

Étape 12.5.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

Étape 12.5.3.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

Étape 12.5.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Étape 12.6

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 12.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Étape 12.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$