Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}] + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2 {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.3

Placez ${(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.4

Associez $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2] + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12.2

Associez $2$ et $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 (2 x)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} x + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} x + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12.4

Associez $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Étape 18

Multipliez ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 19

Pour écrire ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 20

Associez ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 22

Multipliez ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.1

Déplacez ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 22.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 22.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{1} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 23

Simplifiez l’expression.

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Étape 23.1

Simplifiez ${(x^{2} - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + (x^{2} - 2) \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 23.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + 3 \cdot (x^{2} - 2)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 24

Multipliez $\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}})}$

Étape 26

Simplifiez l’expression.

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Étape 26.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}})}$

Étape 26.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}})}$

Étape 27

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 27.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}})}$

Étape 27.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{1})}$

Étape 28

Simplifiez

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 (x^{2} - 2))}$

Étape 29

Simplifiez

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Étape 29.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 (x^{2} - 2))}$

Étape 29.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 x^{2} + 3 \cdot - 2)}$

Étape 29.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Étape 29.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 29.4.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} - 6}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Étape 29.4.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Étape 29.5

Associez des termes.

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Étape 29.5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 (x^{1} x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Étape 29.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{1 + 2} + x (3 \cdot - 2)}$

Étape 29.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} + x (3 \cdot - 2)}$

Étape 29.5.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} + x \cdot - 6}$

Étape 29.5.5

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} - 6 x}$

Étape 29.6

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3} - 6 x$ .

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Étape 29.6.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2}) - 6 x}$

Étape 29.6.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2)}$

Étape 29.6.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2)$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2} - 2)}$