Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 x - x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 1000 y^{2} + y + 1$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x - x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 1000 y^{2} + y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 - 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 - 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Étape 5.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 + \frac{d}{d x} [1000 y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1

Comme $1000 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1000 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 + 0 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 - 3 x^{2} + 12 x - 15 + 0 + 0 + 0$

Étape 7

Associez des termes.

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Étape 7.1

Soustrayez $15$ de $9$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 6 + 0 + 0 + 0$

Étape 7.2

Additionnez $- 3 x^{2} + 12 x - 6$ et $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 6 + 0 + 0$

Étape 7.3

Additionnez $- 3 x^{2} + 12 x - 6$ et $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 6 + 0$

Étape 7.4

Additionnez $- 3 x^{2} + 12 x - 6$ et $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 6$