Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 \cos (9 x) (10 \cos (10 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Multipliez $10$ par $9$ .

$\frac{d}{d x} [90 \cos (9 x) \cos (10 x)]$

Étape 1.2

Comme $90$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $90 \cos (9 x) \cos (10 x)$ par rapport à $x$ est $90 \frac{d}{d x} [\cos (9 x) \cos (10 x)]$ .

$90 \frac{d}{d x} [\cos (9 x) \cos (10 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (9 x)$ et $g (x) = \cos (10 x)$ .

$90 (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (10 x)] + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 10 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $10 x$ .

$90 (\cos (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x]) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$90 (\cos (9 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [10 x]) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $10 x$ .

$90 (\cos (9 x) (- \sin (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$90 (\cos (9 x) (- \sin (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Étape 4.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x) \cdot 1) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Étape 4.4

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $9 x$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 5.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $9 x$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 6.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- 9 \sin (9 x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- 9 \sin (9 x) \cdot 1))$

Étape 6.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x)) + \cos (10 x) (- 9 \sin (9 x)))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$90 (\cos (9 x) (- 10 \sin (10 x))) + 90 (\cos (10 x) (- 9 \sin (9 x)))$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 10$ par $90$ .

$- 900 (\cos (9 x) (\sin (10 x))) + 90 (\cos (10 x) (- 9 \sin (9 x)))$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 9$ par $90$ .

$- 900 \cos (9 x) \sin (10 x) - 810 \cos (10 x) \sin (9 x)$