Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (\frac{x - 1}{x + 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$ par $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Associez les termes opposés dans $x + 1 - x - - 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{(\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Associez $\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ et ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 4.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.4.2

Divisez ${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x (x + 1) + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.4

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.5.5

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Étape 4.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Étape 4.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 4.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 4.5.6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 4.5.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 4.5.6.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

Étape 4.5.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x + 1}$

Étape 4.5.6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 4.5.7

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 1}$

Étape 4.5.8

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 0 + 1 + 1}$

Étape 4.5.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 + 1}$

Étape 4.5.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Étape 4.5.11

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2$ .

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Étape 4.5.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Étape 4.5.11.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Étape 4.5.11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 4.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$