Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = arcsec (\sqrt{x + 1})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $arcsec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 1 - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 0}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 13

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 14

Multipliez $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 16

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 16.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{1} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 18

Simplifiez

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 19

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 21

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + 0)$

Étape 22

Simplifiez l’expression.

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Étape 22.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \cdot 1$

Étape 22.2

Multipliez $\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$

Étape 23

Simplifiez

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{(2 x + 2 \cdot 1) \sqrt{x}}$

Étape 23.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2 x \sqrt{x} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Étape 23.3

Associez des termes.

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Étape 23.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Étape 23.3.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.3.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Étape 23.3.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 23.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Étape 23.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Étape 23.3.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Étape 23.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Étape 23.3.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Étape 23.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}}$