Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a {(2 x^{3} + 5)}^{7}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{d}{d a} [a ({(2 x^{3})}^{7} + 7 {(2 x^{3})}^{6} \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [a (2^{7} {(x^{3})}^{7} + 7 {(2 x^{3})}^{6} \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 {(x^{3})}^{7} + 7 {(2 x^{3})}^{6} \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{7}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{3 \cdot 7} + 7 {(2 x^{3})}^{6} \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.3.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 7 {(2 x^{3})}^{6} \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 7 (2^{6} {(x^{3})}^{6}) \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.5

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 7 (64 {(x^{3})}^{6}) \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{6}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 7 (64 x^{3 \cdot 6}) \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.6.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 7 (64 x^{18}) \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.7

Multipliez $64$ par $7$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 448 x^{18} \cdot 5 + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.8

Multipliez $5$ par $448$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 21 {(2 x^{3})}^{5} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.9

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 21 (2^{5} {(x^{3})}^{5}) \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.10

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 21 (32 {(x^{3})}^{5}) \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.11

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{5}$ .

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Étape 2.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 21 (32 x^{3 \cdot 5}) \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.11.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 21 (32 x^{15}) \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.12

Multipliez $32$ par $21$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 672 x^{15} \cdot 5^{2} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.13

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 672 x^{15} \cdot 25 + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.14

Multipliez $25$ par $672$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 35 {(2 x^{3})}^{4} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.15

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 35 (2^{4} {(x^{3})}^{4}) \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.16

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 35 (16 {(x^{3})}^{4}) \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.17

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{4}$ .

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Étape 2.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 35 (16 x^{3 \cdot 4}) \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.17.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 35 (16 x^{12}) \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.18

Multipliez $16$ par $35$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 560 x^{12} \cdot 5^{3} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.19

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 560 x^{12} \cdot 125 + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.20

Multipliez $125$ par $560$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 35 {(2 x^{3})}^{3} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.21

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 35 (2^{3} {(x^{3})}^{3}) \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.22

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 35 (8 {(x^{3})}^{3}) \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.23

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{3}$ .

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Étape 2.23.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 35 (8 x^{3 \cdot 3}) \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.23.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 35 (8 x^{9}) \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.24

Multipliez $8$ par $35$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 280 x^{9} \cdot 5^{4} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.25

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 280 x^{9} \cdot 625 + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.26

Multipliez $625$ par $280$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 21 {(2 x^{3})}^{2} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.27

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 21 (2^{2} {(x^{3})}^{2}) \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.28

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 21 (4 {(x^{3})}^{2}) \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.29

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.29.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 21 (4 x^{3 \cdot 2}) \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.29.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 21 (4 x^{6}) \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.30

Multipliez $4$ par $21$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 84 x^{6} \cdot 5^{5} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.31

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 84 x^{6} \cdot 3125 + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.32

Multipliez $3125$ par $84$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 7 (2 x^{3}) \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.33

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 14 x^{3} \cdot 5^{6} + 5^{7})]$

Étape 2.34

Élevez $5$ à la puissance $6$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 14 x^{3} \cdot 15625 + 5^{7})]$

Étape 2.35

Multipliez $15625$ par $14$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 5^{7})]$

Étape 2.36

Élevez $5$ à la puissance $7$ .

$\frac{d}{d a} [a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 78125)]$

Étape 3

Comme $128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 78125$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $a (128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 78125)$ par rapport à $a$ est $(128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 78125) \frac{d}{d a} [a]$ .

$(128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 78125) \frac{d}{d a} [a]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 78125) \cdot 1$

Étape 5

Multipliez $128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 78125$ par $1$ .

$128 x^{21} + 2240 x^{18} + 16800 x^{15} + 70000 x^{12} + 175000 x^{9} + 262500 x^{6} + 218750 x^{3} + 78125$