Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 12.3

Placez ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{1 + x^{2}}$

Étape 13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Étape 15

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + x^{2}}$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + x^{2}}$

Étape 17

Associez les fractions.

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Étape 17.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

Étape 17.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

Étape 17.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 21

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 22

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 23

Annulez les facteurs communs.

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Étape 23.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + x^{2}}$

Étape 23.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 23.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 24

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 25

Pour écrire ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 27

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 27.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 27.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 27.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 27.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 28

Simplifiez ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 29

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1 + 0}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 30

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Étape 31

Réécrivez $\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$ comme un produit.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

Étape 32

Multipliez $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Étape 33

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 33.1

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + x^{2}$ .

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Étape 33.1.1

Élevez $1 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}$

Étape 33.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 33.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 33.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 33.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 34

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ par $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35

Simplifiez

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Étape 35.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.2

Associez des termes.

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Étape 35.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 35.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 35.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{1}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.2.2

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.2.5

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}}$

Étape 35.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 35.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

Étape 35.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

Étape 35.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}$

Étape 35.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 35.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}}$

Étape 35.4.4.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}}$

Étape 35.4.4.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}}$

Étape 35.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}}$

Étape 35.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}}$

Étape 35.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 35.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 35.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 35.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 35.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 35.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 35.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}}$

Étape 35.4.4.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.5

Associez ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 35.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 + 1}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{4}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 35.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 35.6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{1}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.6.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 35.7.1

Réduisez l’expression $\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{1 + x^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 35.7.1.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

Étape 35.7.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Étape 35.7.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

Étape 35.7.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1 + x^{2}}{1}}$

Étape 35.7.2

Divisez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$