Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan (3 x) + 3 x \sec^{3} (3 x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (3 x) + 3 x \sec^{3} (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 2.5

Déplacez $3$ à gauche de $\sec^{2} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x \sec^{3} (3 x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x \sec^{3} (3 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (3 x)]$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (3 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sec^{3} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x)] + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $3 x$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\sec (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $3 x$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1))) + \sec^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Étape 3.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Étape 3.9

Déplacez $3$ à gauche de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (3 \sec^{2} (3 x) (3 \cdot (\sec (3 x) \tan (3 x)))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Étape 3.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{2} (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x))) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Étape 3.11

Élevez $\sec (3 x)$ à la puissance $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 (\sec^{1} (3 x) \sec^{2} (3 x)) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Étape 3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 {\sec (3 x)}^{1 + 2} \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Étape 3.13

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x) \cdot 1)$

Étape 3.14

Multipliez $\sec^{3} (3 x)$ par $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{3} (3 x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sec^{2} (3 x) + 3 (x (9 \sec^{3} (3 x) \tan (3 x))) + 3 \sec^{3} (3 x)$

Étape 4.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$3 \sec^{2} (3 x) + 27 x (\sec^{3} (3 x) \tan (3 x)) + 3 \sec^{3} (3 x)$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$27 x \sec^{3} (3 x) \tan (3 x) + 3 \sec^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)$