Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) \sec^{2} (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\sin (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$2 \cdot \sin (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sin (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sin (x) {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 9

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \sec^{2} (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.5

Associez $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.7

Associez.

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.8

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.8.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 10.2.8.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.9.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.9.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 10.2.10

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Étape 10.2.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 10.2.12

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 10.2.12.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Étape 10.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Étape 10.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

Étape 10.2.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3.2

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3.3

Séparez les fractions.

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3.4

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3.6

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3.8

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10.3.9

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x)$