Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (\sec (3 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (3 x)$ .

$\cos (\sec (3 x)) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\cos (\sec (3 x)) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Étape 3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $\sec (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Étape 4.2

Multipliez $3 \cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}$ .

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{1}{\cos (3 x)}$ et $3$ .

$\frac{3}{\cos (3 x)} \cos (\sec (3 x)) \tan (3 x)$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{3}{\cos (3 x)}$ et $\cos (\sec (3 x))$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \tan (3 x)$

Étape 4.3

Réécrivez $\tan (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{3 \cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ par $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 4.4.2

Élevez $\cos (3 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 4.4.3

Élevez $\cos (3 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}$

Étape 4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$

Étape 4.5

Factorisez $\cos (3 x)$ à partir de $\cos^{2} (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (\sec (3 x)) \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 4.6

Séparez les fractions.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$

Étape 4.7

Réécrivez $\frac{\cos (\sec (3 x))}{\cos (3 x)}$ comme un produit.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Étape 4.8

Écrivez $\cos (\sec (3 x))$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\frac{\cos (\sec (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)})$

Étape 4.9

Simplifiez

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Étape 4.9.1

Divisez $\cos (\sec (3 x))$ par $1$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)})$

Étape 4.9.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ à $\sec (3 x)$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Étape 4.10

Séparez les fractions.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Étape 4.11

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x) (\cos (\sec (3 x)) \sec (3 x))$

Étape 4.12

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \tan (3 x) \cos (\sec (3 x)) \sec (3 x)$