Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (\sec (\arccos (x)))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Ainsi, $\sec (\arccos (x))$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 4.2

Associez $\cos (\frac{1}{x})$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$