Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (\arctan (5 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, 5 x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (5 x)$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, 5 x)$ . Ainsi, $\sin (\arctan (5 x))$ est $\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 x)}^{2}}}]$

Étape 1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 (x))}^{2}}}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + 5^{2} x^{2}}}]$

Étape 1.2.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + 25 x^{2}}}]$

Étape 1.2.2.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + 25 x^{2}}$ comme ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + 25 x^{2}$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 25 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 25 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 11.3

Placez ${(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 11.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 15

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 16

Associez les fractions.

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Étape 16.1

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 16.2

Associez $- 25$ et $\frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 16.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 18

Associez les fractions.

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Étape 18.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 18.2

Associez $- 2$ et $\frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (25 x)}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 18.3

Multipliez $25$ par $- 2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 18.4

Associez $\frac{- 50 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x \cdot x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 (x^{1} x)}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 20

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x^{1 + 1}}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 22

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x^{2}}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 23

Factorisez $2$ à partir de $- 50 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 24

Annulez les facteurs communs.

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Étape 24.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 ({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 24.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 24.3

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 25

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 26

Pour écrire ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 28

Multipliez ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 28.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 28.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 28.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{2}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 28.4

Divisez $2$ par $2$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{1} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 29

Simplifiez ${(1 + 25 x^{2})}^{1}$ .

$5 \frac{\frac{1 + 25 x^{2} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 30

Soustrayez $25 x^{2}$ de $25 x^{2}$ .

$5 \frac{\frac{1 + 0}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 31

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 \frac{\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Étape 32

Réécrivez $\frac{\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$ comme un produit.

$5 (\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + 25 x^{2}})$

Étape 33

Multipliez $\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 25 x^{2})}$

Étape 34

Multipliez ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + 25 x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 34.1

Multipliez ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + 25 x^{2}$ .

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Étape 34.1.1

Élevez $1 + 25 x^{2}$ à la puissance $1$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{1}}$

Étape 34.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 34.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 34.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 34.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 35

Associez $5$ et $\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{5}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 36

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{{(25 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$