Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ est $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ où $f (n) = n$ et $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ .

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ est $f' (g (n)) g' (n)$ où $f (n) = \ln (n)$ et $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ et $n$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{x}{n}$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $1$ par rapport à $n$ est $0$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3.5

Comme $x$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $\frac{x}{n}$ par rapport à $n$ est $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Associez $x$ et $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3.6.2

Réécrivez $\frac{1}{n}$ comme $n^{- 1}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 3.8

Associez $\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ et $n^{- 2}$ .

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 4

Multipliez $n$ par $n^{- 2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déplacez $n^{- 2}$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 4.2

Multipliez $n^{- 2}$ par $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 4.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 5

Placez $n^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

Étape 7

Multipliez $\ln (1 + \frac{x}{n})$ par $1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

Étape 8

Pour écrire $\ln (1 + \frac{x}{n})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Étape 9

Associez $\ln (1 + \frac{x}{n})$ et $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1.1.1

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Étape 11.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Étape 11.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Étape 11.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Étape 11.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Étape 11.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

Étape 11.4.2

Associez $\frac{x}{n}$ et $n$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Étape 11.4.3

Annulez le facteur commun de $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Étape 11.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Étape 11.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Étape 11.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Étape 11.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Étape 11.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$