Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\tan (x) \cdot \tan (x))$

Étape 1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{1} (x) \cdot \tan (x))]$

Étape 2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{1} (x) \cdot \tan^{1} (x))]$

Étape 3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\ln ({\tan (x)}^{1 + 1})]$

Étape 4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\tan^{2} (x))]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 5.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 7

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 9

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (x)$ .

$\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cot^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (x)$ .

$\cot^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 11

Déplacez $2$ à gauche de $\cot^{2} (x)$ .

$2 \cdot \cot^{2} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 12

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 13

Réorganisez les facteurs de $2 \cot^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan (x)$