Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \sec (x) \tan (x)]$

Étape 1.2

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)]$

Étape 1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{2 + 1} \tan (x)]$

Étape 1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{3} (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$\sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Étape 4

Multipliez $\sec^{3} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{3 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Étape 4.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 6

Déplacez $3$ à gauche de $\tan (x)$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \cdot \tan (x) \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 7

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan (x) \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 8

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Étape 9

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{5} (x) + 3 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec^{2} (x) \sec (x)$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) \sec (x)$

Étape 12

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))$

Étape 13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2}$

Étape 14

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sec^{5} (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{5} (x)$