Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x + 5) + \ln (2 x - 1) + \ln (4 - x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x + 5)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 5$ .

$\frac{1}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{x + 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x + 5} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{x + 5}$ par $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x - 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x - 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.7

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{2 x - 1} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{2 x - 1}$ et $2$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $4 - x$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $4 - x$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} (0 - 1)$

Étape 4.7

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{4 - x} \cdot - 1$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{4 - x}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{- 1}{4 - x}$

Étape 4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x + 5} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

Étape 5

Associez des termes.

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Étape 5.1

Pour écrire $\frac{1}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{4 - x}$

Étape 5.2

Pour écrire $\frac{2}{2 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

Étape 5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 5) (2 x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + 5}$ par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2}{2 x - 1} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{4 - x}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{2}{2 x - 1}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 5) (2 x - 1)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Étape 5.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 5) (2 x - 1)$ .

$\frac{2 x - 1}{(2 x - 1) (x + 5)} + \frac{2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} - \frac{1}{4 - x}$

Étape 5.5

Pour écrire $\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x}$

Étape 5.6

Pour écrire $- \frac{1}{4 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

Étape 5.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.7.1

Multipliez $\frac{2 x - 1 + 2 (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ par $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{1}{4 - x} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$

Étape 5.7.2

Multipliez $\frac{1}{4 - x}$ par $\frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (x + 5)}$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

Étape 5.7.3

Réorganisez les facteurs de $(2 x - 1) (x + 5) (4 - x)$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))}$

Étape 5.7.4

Réorganisez les facteurs de $(4 - x) ((2 x - 1) (x + 5))$ .

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$

Étape 5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 x - 1 + 2 (x + 5)) (4 - x) - (2 x - 1) (x + 5)}{(2 x - 1) (4 - x) (x + 5)}$