Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \log (arcsec (\sqrt{x}))$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log (arcsec (x^{\frac{1}{2}}))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2.2

La dérivée de $\log (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $arcsec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [arcsec (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [arcsec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

La dérivée de $arcsec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1}}$ par $\frac{1}{arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 13

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 14

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)) \cdot 2}$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)))}$

Étape 15.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Étape 16.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Étape 16.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Étape 16.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Étape 16.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Étape 16.2

Simplifiez $2 x^{1} \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))$ .

$\frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} (arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10))}$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} arcsec (x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)}$