Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \sqrt{2 x} - \sqrt[3]{3 x} + \frac{3}{x^{4}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sqrt{2 x} - \sqrt[3]{3 x} + \frac{3}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.4

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.12

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.13

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.15

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.15.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.15.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.15.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 2.15.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{3 x}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(3 x)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(3 (x))}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.4

Comme $- 3^{\frac{1}{3}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $3^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.13

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.14

Placez $3^{\frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.15

Multipliez $3$ par $3^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.15.1

Déplacez $3^{- \frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3}} \cdot 3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.15.2

Multipliez $3^{- \frac{1}{3}}$ par $3$ .

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Étape 3.15.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3}} \cdot 3^{1} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3} + 1} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.15.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{- 1 + 3}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 3.15.5

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{4}}]$ .

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 4.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 4.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 4.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 4.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + 3 (- 4 x^{- 5})$

Étape 4.8

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - 12 x^{- 5}$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - 12 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez des termes.

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Étape 6.1.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 12}{x^{5}}$

Étape 6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}} - \frac{12}{x^{5}}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{12}{x^{5}} + 1 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$