Calcul infinitésimal Exemples

$f (z) = \sec (z + \ln (z))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = \sec (z)$ et $g (z) = z + \ln (z)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $z + \ln (z)$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z + \ln (z)$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{d}{d z} [z + \ln (z)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z + \ln (z)$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [\ln (z)]$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [\ln (z)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1 + \frac{d}{d z} [\ln (z)])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (z)$ par rapport à $z$ est $\frac{1}{z}$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1 + \frac{1}{z})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \cdot 1 + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$

Étape 4.2

Multipliez $\sec (z + \ln (z))$ par $1$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$

Étape 4.3

Multipliez $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) \frac{1}{z}$ .

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Étape 4.3.1

Associez $\frac{1}{z}$ et $\sec (z + \ln (z))$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \frac{\sec (z + \ln (z))}{z} \tan (z + \ln (z))$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{\sec (z + \ln (z))}{z}$ et $\tan (z + \ln (z))$ .

$\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) + \frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Étape 4.4

Pour écrire $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z}{z} + \frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Étape 4.6

Factorisez $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ à partir de $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ à partir de $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) z$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))}{z}$

Étape 4.6.2

Factorisez $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ à partir de $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1)}{z}$

Étape 4.6.3

Factorisez $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z))$ à partir de $\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z) + \sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (1)$ .

$\frac{\sec (z + \ln (z)) \tan (z + \ln (z)) (z + 1)}{z}$