Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x {(x - 4)}^{3} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.9

Multipliez ${(x - 4)}^{3}$ par $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Additionnez $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ et $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Étape 4.3.3

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

Étape 4.3.4

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

Étape 4.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

Étape 4.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Étape 4.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Étape 4.3.5.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Étape 4.3.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

Étape 4.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.7.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Étape 4.3.7.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.3.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Étape 4.3.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Étape 4.3.7.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

Étape 4.3.7.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

Étape 4.3.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.8.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.8.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

Étape 4.3.8.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

Étape 4.3.8.2

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Étape 4.4

Additionnez $x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

Étape 4.5

Soustrayez $24 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

Étape 4.6

Additionnez $48 x$ et $48 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$