Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x (1 - \frac{4}{x + 3})$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x + 3}{x + 3} - \frac{4}{x + 3})]$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x \frac{x + 3 - 4}{x + 3}]$

Étape 1.3

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{x - 1}{x + 3}]$

Étape 1.4

Associez $x$ et $\frac{x - 1}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 1)}{x + 3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x (x - 1)$ et $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x (x - 1)] - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x + 3) (x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 3) (x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 3) (x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x + (x - 1) \cdot 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.6.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 3) (x + x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x (x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 3) (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Développez $(x + 3) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x - 1) - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x + 3 \cdot - 1 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2.1.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 6 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2.2

Additionnez $- x$ et $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} - x \cdot - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + 1 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} + x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 3 + x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.3

Additionnez $5 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$