Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{4}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4} \cdot 1$

Étape 3.9

Multipliez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{4}$ par $1$ .

$x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4}$

Étape 4

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{3}$ à partir de $x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{3}$ à partir de $x (4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (2 x - 4))$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (x (4 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{4}$

Étape 4.2

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{4}$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (x (4 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (x^{2} - 4 x + 5)$

Étape 4.3

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (x (4 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{3} (x (4 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$