Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \cdot | x - 1 | + x + 1$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cdot | x - 1 | + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cdot | x - 1 |]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = | x - 1 |$ .

$x \frac{d}{d x} [| x - 1 |] + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$x (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} \frac{d}{d x} [x - 1]) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + 0)) + | x - 1 | \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} (1 + 0)) + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$x (\frac{x - 1}{| x - 1 |} \cdot 1) + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ par $1$ .

$x \frac{x - 1}{| x - 1 |} + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.9

Associez $x$ et $\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ .

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + | x - 1 | \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.10

Multipliez $| x - 1 |$ par $1$ .

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + | x - 1 | + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.11

Pour écrire $| x - 1 |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| x - 1 |}{| x - 1 |}$ .

$\frac{x (x - 1)}{| x - 1 |} + \frac{| x - 1 | | x - 1 |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 1) + | x - 1 | | x - 1 |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.13

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{x (x - 1) + | (x - 1) (x - 1) |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.14

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1} (x - 1) |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.15

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{1 + 1} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (x - 1) + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

Étape 4.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

Étape 4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

Étape 4.2.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

Étape 4.2.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + 1 + 0$

Étape 4.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} |}{| x - 1 |} + \frac{| x - 1 |}{| x - 1 |} + 0$

Étape 4.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |} + 0$

Étape 4.2.9

Additionnez $\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - x + | {(x - 1)}^{2} | + | x - 1 |}{| x - 1 |}$