Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \cdot {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 7 - 3 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 - 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - 3 x$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2

Associez ${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.3

Placez ${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.2

Associez $3$ et $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1 + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14

Multipliez $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 16

Multipliez ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 17

Pour écrire ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18

Associez ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 20

Multipliez ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ par ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.1

Déplacez ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 20.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3 - 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 20.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 20.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 21

Simplifiez ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (7 - 3 x) \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 22

Déplacez $2$ à gauche de $7 - 3 x$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (7 - 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23

Simplifiez

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2 \cdot 7 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{3 x + 14 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{3 x + 14 - 6 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.2.2

Soustrayez $6 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.4

Réécrivez $14$ comme $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.6

Réécrivez $- (3 x - 14)$ comme $- 1 (3 x - 14)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$