Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x (x - 2) (x - 3)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x (x - 2)$ et $g (x) = x - 3$ .

$x (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Étape 2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (x - 2) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x (x - 2) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Étape 2.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x - 2)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 2$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x + (x - 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x + (x - 2) \cdot 1)$

Étape 4.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.6.1

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (x + x - 2)$

Étape 4.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$x (x - 2) + (x - 3) (2 x - 2)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + (x - 3) (2 x - 2)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5

Associez des termes.

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Étape 5.5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 (x^{1} x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} - 2 x + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.10

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.11

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2$

Étape 5.5.12

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6$

Étape 5.5.13

Soustrayez $2 x$ de $- 6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 8 x + 6$

Étape 5.5.14

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 x + 6$

Étape 5.5.15

Soustrayez $8 x$ de $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 6$